ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 1
1. ФРАКТАЛЫ 3
1.1. Понятие фрактала 3
1.2. Классические фракталы 4
1.2.1. Канторово множество 4
1.2.2. Снежинка Коха 6
1.2.3. Треугольник Серпинского 7
1.2.4. Кривая Минковского 8
2. СИСТЕМЫ ИТЕРИРОВАНННЫХ ФУНКЦИЙ 10
2. 1. Понятие метрики и метрического пространства 10
2. 2. Непрерывные отображения метрических пространств. Изометрия 12
2. 3. Принцип сжимающих отображений. Неподвижная точка 14
2. 4. Теорема Банаха о неподвижной точке 15
2. 3. Понятие системы итерированных функций 16
2. 3. Свойства систем итерированных функций 17
2. 4. Построение фракталов с помощью систем итерированных функций 19
2. 4.1. Построение треугольника Серпинского с помощью системы итерированных функций 19
2. 4.2. Построение папоротника Барнсли с помощью системы итерированных функций 22
2. 4.3. Построение дракона Хартера-Хэйтуэя с помощью системы итерированных функций 25
2. 4.4. Построение кривой Коха с помощью системы итерированных функций 27
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 30
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 32
ВВЕДЕНИЕ
Теория фракталов является одной из самых молодых и бурно развивающихся в математической науке. Эта теория нашла широкое применение в различных сферах практической деятельности. Фракталы используются в обработке цифровой информации, изучении турбулентного движения жидкостей, исследовании финансовых рынков, в радиолокации, в изготовлении наноматериалов с заданными свойствами и прочие. Исследования в данной области идут до сих пор, и теории фракталов находятся все новые и новые применения.
Одним из новых направлений в теории фракталов является применение систем итерированных функций. Системы итерированных функций, впервые описанные Джоном Хатчинсонов в 1981 году, были популяризованы Джоном Барнсли в 1988 г. Эта теория нашла множество практических применений. В компьютерной графике системы итерированных функций применяются для построения сложных фрактальных объектов, в алгоритмах сжатия изображений, для предсказания землетрясений, погоды и курсов валют.
Целью данной работы является изучение понятия системы итерированных функций, их свойств и возможностей применения систем итерированных функций для генерации фракталов.
Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:
1) изучить классический подход к теории фракталов, основные понятия теории фракталов;
2) рассмотреть классические геометрические фракталы: Канторово множество, снежинку Коха, треугольник Серпинского, кривую Минковского и классический способ построения этих фракталов;
3) рассмотреть понятия функционального анализа, необходимые для изучения систем итерированных функций: метрики и метрического пространства, непрерывных отображений метрических пространств и изометрии, принцип сжимающих отображений, понятие неподвижной точки, теорему Банаха о неподвижной точке;
4) понятие и свойства систем итерированных функций;
5) примеры построения фракталов с помощью систем итерированных функций.
Данная работа содержит две главы. В первой главе вводится классическое определение фрактала, рассматриваются классические геометрические фракталы и классический способ их построения.
Во второй главе вводятся основные понятия функционального анализа и теории метрических пространств, необходимые для рассмотрения систем итерированных функций, вводится определение систем итерированных функций, свойства систем итерированных функций. В конце главы рассматриваются примеры построения некоторых фракталов с использованием систем итерированных функций.
1. ФРАКТАЛЫ
|
