2. 3. Принцип сжимающих отображений. Неподвижная точка
Ряд вопросов, связанных с существованием и единственностью решений уравнений того или иного типа (например, дифференциальных или алгебраических уравнений), можно сформулировать в виде вопроса о существовании и единственности неподвижной точки при некотором отображении соответствующего метрического пространства в себя. Среди различных критериев существования и единственности неподвижной точки при такого рода отображениях один из простейших и в то же время наиболее важных – так называемый принцип сжимающих отображений.
Определение 9. Пусть  –метрическое пространство и  - отображение метрического пространства  в себя. Тогда отображение  называется сжимающим отображением, если существует такое число
 , что для  выполняется неравенство
В этом случае отображение также называется сжатием.12
Определение 10. Элемент  называется неподвижной точкой отображения , если  . Иначе говоря, неподвижные точки – это решения уравнения .13
2. 4. Теорема Банаха о неподвижной точке
Теорема. (Принцип сжимающих отображений).
Всякое сжимающее отображение, определенное в полном метрическом пространстве , имеет одну и только одну неподвижную точку.
Доказательство. Пусть  – произвольная точка в . Положим
 .
Эта последовательность сходится к неподвижной точке отображения .
Заметим, что последовательность  представляет собой последовательность приближенных решений уравнения , а доказательство дает эффективный способ оценки точности этих приближенных решений, поскольку переходя в ней к пределу при  мы получаем
Следствие. Пусть – такое непрерывное отображение в полном метрическом пространстве , что некоторая его степень  является сжатием. Тогда отображение имеет одну и только одну неподвижную точку.
Теорема Банаха используется в теории дифференциальных уравнений для доказательства существования и единственности решения некоторых классов краевых задач. В теории интегральных уравнений теорема используется для доказательства существования и единственности решения неоднородного линейного интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода, интегрального уравнения Вольтерры 2-го рода, некоторых видов нелинейных интегральных уравнений. Широкое применение теорема Банаха находит в численных методах, таких как метод Якоби, метод Гаусса — Зейделя, метод Ньютона. Также теорема нашла применение в теории фракталов.
|
