2. 3. Понятие системы итерированных функций
Пусть  – конечный набор сжимающих отображений в  с коэффициентами сжатия  .
Система итерированных функций (iterated function system, IFS) состоит из полного метрического пространства и конечного множества сжимающих отображений  с коэффициентами сжатия  .
Коэффициент сжатия IFS определяется как  .
IFS будем обозначать как  .14
Системы итерированных функций впервые были описаны Джоном Хатчинсоном в 1981 году (Hutchinson, John E. (1981). "Fractals and self similarity"). Позже системы итерированных функций были популяризованы Майклом Барнсли (Michael Barnsley, "Fractals Everywhere", Academic Press, Inc., 1988).
2. 3. Свойства систем итерированных функций
Основной задачей теории систем итерированных функций является ответ на вопрос, когда заданная система итерированных функций порождает предельное множество  :
где последовательность  порождается итерационной схемой ( - произвольное множество):
Отметим, что сходимость подразумевается в метрике Хаусдорфа. Если предел существует, то его называют аттрактором системы итерированных функций. При этом аттрактор часто оказывается фрактальным множеством. Для того, чтобы применить основную теорему о сжимающих отображений необходимо показать, что  - полное метрическое пространство, что образ компакта компактен и что  — сжимающее отображение. Докажем третье утверждение.
Теорема. Преобразование является сжимающим в метрическом пространстве с коэффициентом сжатия ..
Доказательство.
Заметим, что для любого  выполняется
Следовательно, если  то  . Следовательно  . Аналогично,  .
Неравенство  эквивалентно следующей записи:
 .
Пусть  . Таким образом,  .
Следующая теорема суммирует основные результаты о сходимости систем итерированных функций.
Теорема. Пусть  -система итерированных сжимающих отображений. Для произвольного компактного начального множества  , последовательность  сходится в метрике Хаусдорфа к единственному множеству . Множество называется аттрактором системы итерированных функций. Обратно, множество  можно представит в виде:  .
Таким образом, возникают две задачи. Первая – это нахождение аттрактора заданной системы итерированных функций. Вторая задача обратна первой: для заданного множества  , найти  для которой является аттрактором.15
Аттрактор не всегда является фракталом, это может быть любое компактное множество. Тем не менее, изучение систем итерированных функций чрезвычайно важно для теории фракталов, с помощью систем итерированных функций можно получить большое количество разнообразных фракталов.
Кроме того, теория итерированных функций является составной частью общей теории динамических систем, важного раздела современной математики.
|
