Московский технологический колледж

Скачать 237.54 Kb.

Название	Московский технологический колледж
Тип	Документы

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

ГБПОУ

МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ

Методическое руководство

по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы

по математике

по теме: «Построение графиков тригонометрических функций с помощью геометрических преобразований»

для студентов 1 курса

по специальности 15.02.08 Технология машиностроения

Преподаватель: Рудас И. Г.

Рассмотрено и одобрено

на заседании ПЦК

математических и

естественнонаучных дисциплин

Председатель ПЦК

_____________

Построение графиков тригонометрических функций с помощью геометрических преобразований.

Тригонометрические функции.

График функции y=sin x

При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов.

Тогда функция y = sinx представляется графиком , который называется синусоидой.

http://oldskola1.narod.ru/trigf13/pic06a.gif

Рисунок хорошо иллюстрирует все те свойства функции

у = sin х. Напомним эти свойства.

1)   Функция у = sin х определена для всех значений х, так что областью ее определения является совокупность всех действительных чисел.

2)   Функция у = sin х ограничена. Все значения, которые она принимает, заключены в интервале от —1 до 1, включая эти два числа. Следовательно,   область   изменения   этой   функции определяется неравенством —1< у < 1. При х = ^π/₂ + 2kπ функция принимает   наибольшие   значения,   равные 1,   а   при   х = — ^π/₂ + 2kπ — наименьшие значения, равные — 1.

3)   Функция у = sin х   является нечетной (синусоида симметрична относительно начала координат).

4) Функция у = sin х периодична с периодом 2π.

5) В интервалах 2nπ < x < π + 2nπ (n — любое целое число) она   положительна,   а   в   интервалах   π + 2kπ < х < 2π + 2kπ (k — любое целое число) она отрицательна. При х = kπ функция обращается в нуль. Поэтому эти значения аргумента х (0; ±π; ±2π; ...) называются нулями функции у = sin x

6)   В интервалах   — ^π/₂ + 2nπ < х < ^π/₂+ 2nπ функция у = sin x монотонно   возрастает,   а в   интервалах ^π/₂ + 2kπ < х < ^3π/₂+ 2kπ она   монотонно убывает.

График функции у = cos x

Как мы знаем, cos х = sin (х + ^π/₂).

Поэтому если cos x принимает некоторое значение а при х = х₀, то при х = х₀ + ^π/₂ это же значение а примет и sin x. Если аргумент х толковать как время, то можно сказать, что значения функции у = sinx как бы «запаздывают», или «отстают» от соответствующих значений функции у = cos x на ^π/₂.

Отсюда можно заключить, что график функции у = cos x получается посредством сдвига графика функции у = sin x вдоль оси абсцисс влево на расстояние ^π/₂.

http://oldskola1.narod.ru/trigf14/pic01.gif

Итак, график функции у = cos x есть синусоида, сдвинутая влево на ^π/₂. Иногда такую кривую называют косинусоидой.

Косинусоида хорошо иллюстрирует все основные свойства функции у = cos х, которые раньше были нами доказаны. Предлагаем учащимся еще раз сформулировать эти свойства и дать им графическую интерпретацию.

Графики функций у = tg x и у = ctg x

Функция y = tg x представляется кривой, которая называется тангенсоидой.

http://oldskola1.narod.ru/trigf15/pic03.gif

Тангенсоида хорошо иллюстрирует основные свойства функции у =tgx.   Напомним

1) Функция у = tg x определена для всех, значений х,   кроме х = ^π/₂ + nπ, где n — любое целое число. Таким образом, областью ее определения служит совокупность всех действительных чисел, кроме х = ^π/₂ + nπ.

2) Функция у = tg x   не ограничена. Она может принимать как любые положительные,   так и любые   отрицательные   значения. Следовательно, областью ее изменения является совокупность всех действительных чисел. Среди этих чисел нельзя указать ни наибольшего, ни наименьшего.

3) Функция у = tg x нечетна (тангенсоида симметрична относительно начала координат).

4) Функция у = tg x периодична с периодом π.

5) В интервалах nπ < х < ^π/₂ + nπ функция у = tg х положительна,

а в интервалах — ^π/₂ + nπ< х < nπ она отрицательна.

При х = nπ функция у = tg x обращается в нуль Поэтому эти значения аргумента (0; ± π; ± 2π; ±3π; ..) служат нулями функции у = tg x.

6) В интервалах — ^π/₂ + nπ < х < ^π/₂ + nπ

функция монотонно возрастает. Можно сказать, что в любом интервале, в котором функция у = tg x определена, она является монотонно возрастающей.

Однако ошибочно было бы считать, что функция у = tg x монотонно возрастает всюду. Так, например ,    ^π/₄ + ^π/₂ > ^π/₂ . Однако   tg (^π/₄ + ^π/₂) < tg ^π/_{4 .} Это   объясняется   тем,   что   в    интервал,   соединяющий точки х =^π/₄ и х = ^π/₄ + ^π/₂, попадает значение х = ^π/₂, при котором функция у = tg x не определена.

Для построения графика функции у = ctg х следует воспользоваться   тождеством ctg x = — tg (x + ^π/₂)

Оно указывает на следующий порядок построения графика:

тангенсоиду у = tg x нужно сдвинуть влево по оси абсцисс на расстояние ^π/₂;

полученную кривую отобразить симметрично относительно оси абсцисс.

В результате такого построения получается кривая, представленная на рисунке. Эту кривую иногда называют котангенсоидой.

http://oldskola1.narod.ru/trigf15/pic04.gif

Котангенсоида хорошо иллюстрирует все основные свойства функции у = ctg х. Предлагаем учащимся сформулировать эти свойства и дать им графическую интерпретацию.

Графики обратных тригонометрических функций

Функция y=arcsinx

Арксинусом числа m называется такое значение угла x, для которого $\sin x = m,\, -\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2},\, |m|\leqslant 1.$

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/de/arcsin.png/220px-arcsin.png

График функции y = arcsinx.

Функция y = sinx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y = arcsinx является строго возрастающей.

$\sin (\arcsin x) = x\qquad$ при $-1 \leqslant x \leqslant 1,$

$\arcsin(\sin y) = y\qquad$ при $-\frac{\pi}{2} \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2},$

$d(\arcsin x)=[-1; 1]\qquad$ (область определения),

$e(\arcsin x) = \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\qquad$ (область значений).

$\arcsin (-x) = -\arcsin x \qquad$ (функция является нечётной).

$\arcsin x>0 \,$ при $0 < x \leqslant 1.$

$\arcsin x = 0\,$ при x = 0.

Функция y=arccosx

Арккосинусом числа m называется такое значение угла x, для которого $\cos x = m,\qquad 0 \leqslant x \leqslant \pi, |m|\leqslant 1.$

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b6/arccos_function.png/220px-arccos_function.png

График функции y = arccosx.

Функция y = cosx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y = arccosx является строго убывающей.

cos(arccosx) = x при $-1 \leqslant x \leqslant 1,$

arccos(cosy) = y при $0 \leqslant y \leqslant \pi.$

D(arccosx) = [ − 1;1], (область определения),

E(arccosx) = [0;π]. (область значений). $\arccos(-x) = \pi - \arccos x\,$ (функция центрально-симметрична относительно точки $\left (0; \frac{\pi}{2}\right).$

$\arccos x> 0\,$ при $-1 \leqslant x < 1.$

$\arccos x = 0\,$ при $x=1.\,$

Функция y=arctgх

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/thumb/6/6b/arctg.png/500px-arctg.png

График функции $y=\operatorname{arctg}\, x$ .

Арктангенсом числа m называется такое значение угла α, для которого $\operatorname{tg}\, \alpha = m , \qquad -\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}.$

Функция $y=\operatorname{arctg} x$ непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция $y=\operatorname{arctg} x$ является строго возрастающей.

$\operatorname{tg}\,(\operatorname{arctg}\, x)=x$ при $x \in \mathbb r,$

$\operatorname{arctg}\,(\operatorname{tg}\, y)=y$ при $-\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2},$

$d(\operatorname{arctg}\,x) = (-\infty; \infty),$

$e(\operatorname{arctg}\,x) = \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$

Функция y= arcctgx

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/thumb/9/9e/%d0%90%d1%80%d0%ba%d0%ba%d0%be%d1%82%d0%b0%d0%bd%d0%b3%d0%b5%d0%bd%d1%81.png/500px-%d0%90%d1%80%d0%ba%d0%ba%d0%be%d1%82%d0%b0%d0%bd%d0%b3%d0%b5%d0%bd%d1%81.png

График функции y=arcctg x

Арккотангенсом числа m называется такое значение угла x, для которого $\operatorname{ctg}\,x = m,\qquad 0 < x < \pi.$

Функция $y=\operatorname{arcctg}\, x$ непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция $y=\operatorname{arcctg}\, x$ является строго убывающей.

$\operatorname{ctg}\,(\operatorname{arcctg}\, x) = x$ при $x \in \mathbb r,$

$\operatorname{arcctg}\,(\operatorname{ctg}\, y) = y$ при 0 < y < π,

$d(\operatorname{arcctg}\, x) = (-\infty; \infty),$

$e(\operatorname{arcctg}\, x) = (0; \pi).$

$\operatorname{arcctg}\, (-x) = \pi - \operatorname{arcctg}\, x$ (график функции центрально-симметричен относительно точки $\left(0; \frac{\pi}{2}\right).$

$\operatorname{arcctg}\, x> 0$ при любых x.

Для построения графиков различных, более сложных функций, используем геометрические преобразования такие, как параллельный перенос и сжатие (растяжение) графиков функций относительно координатных осей

Пример

Построить график функции у = sin (х + ^π/₃).

Решение

Для   этого   сравним данную функцию с функцией у = sin x, график которой мы уже умеем строить.

Пусть   данная   функция   у = sin (х + ^π/₃)      при   х = х₀ принимает некоторое значение, равное y₀. Тогда

y₀ = sin ( х₀ + ^π/₃ ).

Но в таком случае функция у = sin x должна принять то же самое значение   y₀   при х = х₀ + ^π/₃ .

Таким образом, все значения, которые принимает функция у = sin (х + ^π/₃) , принимает и функция у = sin х. Если х толковать как время, то можно сказать, что каждое значение y₀ функцией у = sin (х + ^π/₃) принимается на ^π/₃ единицы времени раньше, чем функцией у = sin х.

Отсюда вытекает, что график функции у = sin (х + ^π/₃ )   получается посредством сдвига синусоиды у = sin x по оси абсцисс влево на ^π/₃ .

http://oldskola1.narod.ru/trigf42/pic01.gif

Аналогично можно было бы построить и графики таких функций, как
у = cos (х + ^π/₆ ), у = tg (х + ^π/₄ ) и т. д.

Самостоятельная внеаудиторная работа

Самостоятельная работа по решению следующей задачи по вариантам, соответствующим порядковому номеру в журнале:
Варианты индивидуальных заданий (по уровням)

Построить графики функций с помощью геометрических преобразований графиков элементарных функций.

Вариант	1 уровень	2 уровень	3 уровень
1	1. 2. y = 3.	1.+2 2. y = -1) 3. +1	Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
2	1. 2. y = 3.	1. 2. y = 3. -4)	Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
3	1. 2. y = 3.	1. 2. y = 3.	Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
4	1. 2. y = 3.	1. 2. y = 3. +1	Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
5	1. 2. y = 3.	1. 2. y = 3. -2)	Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
6	1. 2. y = 3.	1.+3) 2. y = 3.	Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
7	1. 2. y = 3.	1. 2. y = 3. +1)	Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
8	1. 2. y = 3.	1.-1) 2. y = 3. -4	Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
9	1. 2. y = 3.	1. 2. y = 3. +1	Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
10	1. 2. y = 3.	1. 2. y = 3.	Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
11	1. 2. y = 3.	1. 2. y = 3. +1	Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
12	1. 2. y = 3.	1.+4) 2. y = 3.	Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
13	1. 2. y = 3.	1. 2. y = 3.	Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
14	1. 2. y = 3.	1. 2. y = +3) 3.	Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
15	1. 2. y = 3.	1.-2) 2. y = 3. +4	Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
16	1. 2. y = 3.	1.) 2. y = 3.	Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
17	1. 2. y = 3.	1. 2. y = 3. -1	Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
18	1. 2. y = 3.	1.+4 2. y = 3.	Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
19	1. 2. y = 3.	1.-1 2. y = +3 3.	Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
20	1. 2. y = 3.	1. 2. y = 3.	Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний»
21	1. 2. y = 3.	1. 2. y = 3.	Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
22	1. 2. y = 3.	1. 2. y = -3 3. +3	Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
23	1. 2. y = 3.	1.-1 2. y = 3.	Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
24	1. 2. y = 3.	1. 2. y = +1 3. +3	Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
25	1. 2. y = 3.	1. 2. y = 3.	Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
26	1. 2. y = 3.	1.+2 2. y = 3.	Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
27	1. 2. y = 3.	1. 2. y = 3. -4	Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
28	1. 2. y = 3.	1. 2. y = 3.	Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
29	1. 2. y = 3.	1. 2. y = +3 3. )	Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
30	1. 2. y = 3.	1. 2. y = 3. +2	Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».

1 уровень - удовлетворительно,

2 уровень - хорошо,

3 уровень – отлично.

Содержание отчета

В тетради для внеаудиторных самостоятельных работ необходимо:

указать тему самостоятельной работы,
указать цель работы,
указать порядок выполнения заданий,
оформить решение задачи в тетради

Используемая литература

1. Математика (Книга 1) Колягин Ю.М. и др.. М.: ОНИКС, 2008

2. Математика (Книга 2) Колягин Ю.М. и др. М.: ОНИКС, 2008

3. Практические занятия по математике Богомолов Н.В. М.: Высшая школа,2009

Похожие:

	Отчет о результатах самообследования гаоу мо спо «Североморский технологический колледж» Государственное автономное образовательное учреждение Мурманской области среднего профессионального образования «Североморский технологический...		Программа развития государственного бюджетного профессионального... Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Пензенской области «Никольский технологический колледж им....
	Актуальные проблемы развития речи и межкультурной коммуникации «Московский информационно-технологический университет – Московский архитектурно-строительный институт»		Или профессиональных модулей цикла Цикловая комиссия является объединением педагогических работников гапоу со «Вольский технологический колледж» (далее – Колледж) нескольких...
	Инструкция по технике безопасности Разработчик: Пирогова А. А., преподаватель гбоу спо «Тверской химико-технологический колледж»		Программа развития гбоу спо мо «Московскийобластной профессиональный колледж» Информационная справка о гбоу спо мо «Московский областной профессиональный колледж» 8
	Программа развития гбоу спо мо «Московскийобластной профессиональный колледж» Информационная справка о гбоу спо мо «Московский областной профессиональный колледж» 8		Актуальные проблемы развития речи и межкультурной коммуникации Хi кирилло-Мефодиевских чтений в миту-маси (г. Москва, 15 мая 2018 года) / отв ред. Г. А. Забелина; сост. В. Д. Янченко, К. Г. Сосян;...
	Е. С. Воскресенских бу «Няганский технологический колледж» Профессиональные компетенции в процессе обучения по специальности «Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического...		Гапоу рс (Я) «южно якутский технологический колледж» пм. 01. Организация перевозочного процесса Министерство профессионального образования, подготовки и расстановки кадров республики саха (якутия)
	I. термины и определения Профессионально педагогический колледж для государственного образовательного учреждения высшего образования Московской области «Государственный...		Рабочая программа дополнительного образования «Стрельба из пневмонического оружия» Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение саратовской области «вольский технологический колледж»
	Отчет по самообследованию Общая характеристика Профессионально –педагогический колледж государственного образовательного учреждения высшего образования Московской области «Государственный...		Методические рекомендации по подготовке, оформлению и защите дипломного проекта по специальности ...
	Профессия «Парикмахер». Практические основы физиологии кожи и волос Место проведения урока: гапоу г. Москвы «Технологический колледж №24», ул. Маленковская д. 17, лаборатория «Парикмахерское искусство»...		Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Московский... Учебно-методическое объединение по образованию в области автоматизированного машиностроения (умо ам)

Руководство, инструкция по применению