Понятие о форме и размерах Земли.
Точное знание формы и размеров Земли необходимо во многих областях науки и техники (при запуске искусственных спутников и космических ракет, в авиации, мореплавании, радиосвязи и т.д.) и прежде всего в самой геодезии для правильного изображения земной поверхности на картах.В геодезии для обозначения формы земной поверхности используют термин «фигура Земли».
Знание фигуры и размеров Земли необходимо во многих областях и прежде всего для определения положения объектов на земной поверхности и правильного её изображения в виде карт, планов и цифровых моделей местности.
Физическая поверхность Земли состоит из подводной (70,8 %) и надводной (29,2 %) частей.Средняя глубина Мирового океана – около 3800 м; средняя высота над средним уровнем воды в океанах – около 875 м. Поэтому можно считать, что суша имеет вид небольшого по сравнению с общей поверхностью Земли и невысокого над уровнем моря по сравнению с его глубиной плоскогорья.
Представление о фигуре Земли (рис. 2) в целом можно получить, вообразив, что вся планета ограничена мысленно продолженной поверхностью океанов в спокойном состоянии.
Уровенных поверхностей, огибающих Землю, можно вообразить множество. Та из них, что совпадает со средним уровнем воды океанов в спокойном состоянии, т.е. в момент полного равновесия всей массы находящейся в ней воды под влиянием силы тяжести, называется основной уровенной поверхностью Земли.
В геодезии, как и в любой другой науке, одним из основополагающих принципов является принцип перехода от общего к частному. Исходя из него, для решения научных и инженерных задач по изучению физической поверхности Земли, а также других геодезических задач, сначала необходимо определиться с математической моделью поверхности Земли. математическая поверхность Земли
Рассмотрим любую материальную точку А на физической поверхности Земли (рис. 3).
На эту точку оказывают влияние две силы: сила притяжения Fп, направленная к центру Земли, и центробежная сила вращения Земли вокруг своей оси Fц, направленная от оси вращения по перпендикуляру. Равнодействующая этих сил называется силой тяжести Fт.
В любой точке земной поверхности направление силы тяжести, называемое ещё вертикальной или отвесной линией, можно легко и просто определить с помощью уровня или отвеса. Оно играет очень большую роль в геодезии. По направлению силы тяжести ориентируется одна из осей пространственной системы координат.
Рис. 3. Геоид – уровенная поверхность Земли
Если через точку А построить замкнутую поверхность, которая в каждой своей точке будет перпендикулярна отвесной линии (направлению силы тяжести), то данную поверхность можно принять в качестве математической при решении некоторых частных задач в геодезии. Такая поверхность получила название уровенной или горизонтальной. Её недостаток в том, что она содержит элемент неопределенности, т.е. через любую точку можно провести свою уровенную поверхность, и таких поверхностей будет бесчисленное множество.
Для устранения этой неопределенности при решении общих геодезических задач принимается так называемая общая математическая поверхность, т.е. уровенная поверхность, которая в каждой своей точке совпадает со средним уровнем морей и океанов в момент полного равновесия всей массы воды под влиянием силы тяжести. Такая поверхность носит названиеобщей фигуры Земли или поверхности геоида.
Геоид – выпуклая замкнутая поверхность, совпадающая с поверхностью воды в морях и океанах в спокойном состоянии и перпендикулярная к направлению силы тяжести в любой её точке(см. рис. 3).
Из-за неравномерного распределения масс внутри Земли геоид не имеет правильной геометрической формы, и в математическом отношении его поверхность характеризуется слишком большой сложностью. Поэтому там, где это допустимо, поверхность геоида заменяется приближенными математическими моделями, в качестве которых принимается в одних случаяхземной сфероид, в других – земной шар, а при топографическом изучении незначительных по размеру территорий – горизонтальная плоскость, т.е. плоскость, перпендикулярная к вертикальной линии в данной точке.
Земной сфероид – эллипсоид вращения получается вращением эллипса вокруг его малой оси b (см. рис. 3), совпадающей с осью вращения Земли, причем центр эллипсоида совмещается с центром Земли.
Изучение фигуры Земли сводится в первую очередь к определению размеров полуосей и сжатия эллипсоида, наилучшим образом подходящего к геоиду и правильно ориентированного в теле Земли. Такой эллипсоид называется референц-эллипсоидом. Величины a, b, a могут быть определены посредством градусных измерений, которые позволяют вычислить длину дуги меридиана в 1о. Зная величины таких дуг в различных местах меридиана, можно установить форму и размеры Земли.
Размеры земного эллипсоида неоднократно определялись учеными разных стран. До 1946г. в СНГ пользовались эллипсоидом, размеры которого были получены в 1841 г. немецким астрономом Ф.В. Бесселем (a=63777 397м, b=6 356 079м, a=1:299,2). Однако эллипсоид Бесселя на территории республики значительно отходит от поверхности геоида.
В 1940 г. учеными под руководством проф. Ф.Н. Красовского и А.А. Изотова были получены размеры эллипсоида, наиболее подходящие для территории республики (a=6 378 242м, b=6 356 863м, a=1:298,3). Эллипсоид указанных размеров с 1946 г. постановлением правительства принят для геодезических работ в СССР (в наст. Время СНГ) и назван эллипсоидом Красовского.
Размеры эллипсоида Красовского, полученные из обработки геодезических, гравиметрических и астрономических материалов градусных измерений СНГ, Западной Европы и США, являются наиболее обоснованными как по объему использованных материалов, так и по строгости их обработки.
Современная теория фигуры Земли получила строгое решение в трудных советских ученых, главным образом чл.корр. АН СССР М.С. Молоденского. Им разработана теория, определяющая по результатам измерений непосредственно фигуру физической поверхности Земли, а не геоида. В этом случае отпадает необходимость привлекать какие-либо гипотезы о внутреннем строении Земли.
В настоящее время изучение физической поверхности Земли производится путем определения положения (координат) точек местности относительно расположенной некоторым образом поверхности (поверхности относимости), за которую принимается поверхность референц-эллипсоида Красовского.
Особенности строения фигуры Земли полностью учитываются при математической обработке высокоточных геодезических измерений и создании государственных геодезических опорных сетей. Ввиду малости сжатия (a»1:300) при решении многих задач за фигуру Земли с достаточной для практических целей точностью можно принимать сферу, равновеликую по объему земному эллипсоиду. Радиус такой сферы для эллипсоида Красовского R=6371,11км.
Понятие о геодезических проекциях. Системы высот.
Геодезические проекции, отображения поверхности земного эллипсоида на плоскость, осуществленные по определённым законам. Г. п. применяются для численной обработки геодезических сетей и для решения различных практических задач с использованием результатов геодезических измерений на местности, а также при построении топографических карт масштабов крупнее 1:1000000. Теория Г. п. имеет много общего с теорией картографических проекции, однако если от последних требуют в первую очередь малости искажений, то от Г. п. — возможности строгого и простого учёта их. Использование при съемке местности пунктов геодезических сетей как опорных приводит к необходимости уложения материалов съёмок в эту сеть без каких-либо дополнительных редуцирований их на плоскость, кроме редукций масштабного характера. Этим обусловлен выбор Г. п. из числа конформных проекций, характеризующихся тем, что во всякой точке проекции сохраняется постоянство масштаба по всем направлениям в пределах малого участка, для которого эта точка — центральная, т. е. в малом обеспечивается геометрическое подобие оригинала и его отображения. Если координаты опорных пунктов съёмки будут вычислены в избранной Г. п. очень точно, то тем самым масштаб будет учтен автоматически и не потребуется никаких редукций съёмочных материалов. Характер деления поверхности эллипсоида на части (зоны) зависит от избираемой Г. п. В теории Г. п. даются формулы, позволяющие строго производить перенос с эллипсоида на плоскость (и обратно) координат точек, длин линий и их направлений, вычислять масштаб и осуществлять переход из одной зоны проекции в другую. Имея такой аналитический аппарат и выполнив вычисления применительно к начальному пункту геодезической сети и исходной стороне её, можно затем эту сеть рассматривать на плоскости Г. п. и выполнять обработку её по формулам прямолинейной тригонометрии и аналитической геометрии.
К Г. п. относятся проекции Гаусса — Крюгера, коническая конформная проекция Ламберта, различные варианты стереографических проекций и др. В СССР и ряде др. стран используется проекция Гаусса — Крюгера. Она определяется как конформная проекция эллипсоида на плоскость, в которой на осевом меридиане, изображаемом прямой линией, являющейся осью симметрии проекции, нет никаких искажений. Поверхность эллипсоида при этом делится меридианами на координатные зоны, простирающиеся от одного полюса до другого. Ширина зон по долготе установлена в 6° и 3°. В каждой зоне изображение осевого меридиана принято за ось абсцисс, изображение экватора — за ось ординат. См. также Картографические проекции.
На местности точки, линии, углы и контуры расположены в силу неровностей земной поверхности преимущественно на возвышениях или впадинах. Так как возвышения и впадины являются пространственными формами, то для изучения и изображения местности на бумаге в геодезии пользуются методом проекций.
Пусть многоугольник ABCDE (рисунок 2) расположен на холмистой местности, и нам нужно узнать его форму и размер. Для этого спроектируем все вершины этого многоугольника на горизонтальную плоскость PQ. Перпендикуляры Аа, Bb, Сс,Dd и Ее совпадают с отвесными линиями.
Точки а, Ь, с, d и е пересечения перпендикуляров с горизонтальной плоскостью являются проекциями соответствующих точек местности А, В, С, D и Е. Линии ab, bс, cd, de и еа - горизонтальные проекции или горизонтальные проложения линий АВ, ВС, CD, DE и ЕА местности. Углы abc, bсd, cde, dea и eab являются горизонтальными проекциями или горизонтальными проложениями углов ABC, BCD, CDE, DEA и ЕАВ местности.
Многоугольника bсde называется горизонтальной проекцией или горизонтальным проложением многоугольника ABCDE местности.
Рисунок 2 - Горизонтальная проекция местности
Системы высот
Третьей координатой, определяющей положение точки в пространстве, является её высота.
В геодезии для определения отметок точек применяются следующие системы высот (рис. 15): ортометрическая (абсолютная); геодезическая; нормальная (обобщенная); относительная (условная).
Ортометрическая (абсолютная) высота Нс - расстояние, отсчитываемое по направлению отвесной линии от поверхности геоида до данной точки.
Геодезическая высота Нг - расстояние, отсчитываемое по направлению нормали от поверхности референц-эллипсоида до данной точки.
В нормальной системе высот отметка точки Нн отсчитывается по направлению отвесной линии от поверхности квазигеоида, близкой к поверхности геоида.
Квазигеоид («якобы геоид») - фигура, предложенная в 1950-х гг. советским учёным М.С. Молоденским в качестве строгого решения задачи определения фигуры Земли. Квазигеоид определяется по измеренным значениям потенциалов силы тяжести согласно положениям теории М.С. Молоденского.
В нашей стране все высоты реперов государственной нивелирной сети определены в нормальной системе высот. Зто связано с тем, что положение геоида под материками определить сложно. Поэтому с конца 40- х годов в СССР было принято решение не применять ортометрическую систему высот.
В России абсолютные высоты точек определяются в Балтийской системе высот (БСВ) относительно нуля Кронштадтского футштока -
горизонтальной черты на медной пластине, прикрепленной к устою моста через обводной канал в г. Кронштадте.
Относительная высота Ну - измеряется от любой другой поверхности, а не от основной уровенной поверхности.
Местная система высот - Тихоокеанская, её уровенная поверхность ниже нуля Кронштадтского футштока на 1873 мм.
Прямая и обратная геодезические задачи в системе плоских прямоугольных координат.
Прямая геодезическая задача
В геодезии часто приходится передавать координаты с одной точки на другую. Например, зная исходные координаты точки А (рис.23), горизонтальное расстояние SABот неё до точки В и направление линии, соединяющей обе точки (дирекционный угол αAB или румб rAB), можно определить координаты точки В. В такой постановке передача координат называется прямой геодезической задачей.
Рис. 23. Прямая геодезическая задача
Для точек, расположенных на сфероиде, решение данной задачи представляет значительные трудности. Для точек на плоскости она решается следующим образом.
Дано: Точка А( XA, YA ), SAB и αAB.
Найти: точку В( XB, YB ).
Непосредственно из рисунка имеем:
ΔX = XB – XA ;
ΔY = YB – YA .
Разности ΔX и ΔY координат точек последующей и предыдущей называются приращениями координат. Они представляют собой проекции отрезка АВ на соответствующие оси координат. Их значения находим из прямоугольного прямоугольника АВС:
ΔX = SAB · cos αAB ;
ΔY = SAB · sin αAB .
Так как в этих формулах SAB всегда число положительное, то знаки приращений координат ΔX и ΔY зависят от знаков cos αAB и sin αAB. Для различных значений углов знаки ΔX и ΔY представлены в табл.1.
Таблица 1. - Знаки приращений координат ΔX и ΔY
Приращения координат
|
Четверть окружности в которую направлена линия
|
I (СВ)
|
II (ЮВ)
|
III (ЮЗ)
|
IV (СЗ)
|
ΔX
|
+
|
–
|
–
|
+
|
ΔY
|
+
|
+
|
–
|
–
|
При помощи румба приращения координат вычисляют по формулам:
ΔX = SAB · cos rAB ;
ΔY = SAB · sin rAB .
Знаки приращениям дают в зависимости от названия румба.
Вычислив приращения координат, находим искомые координаты другой точки:
XB = XA + ΔX ;
YB = YA + ΔY .
Таким образом можно найти координаты любого числа точек по правилу: координаты последующей точки равны координатам предыдущей точки плюс соответствующие приращения.
|
